【数学パズル】11、111、1111・・・平方数はある？

いま11以上の「1」が並ぶ整数の数列を考える。つまり以下のような数列だ。

11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, ・・・・・・

さて、この1並びの数列に、平方数（整数の2乗になる数字。1,4,9,16・・・といったもの。）は存在するだろうか？

<<以下に解答を記載>>

■解答

整数nは、偶数か奇数かで分けられる。つまり以下の2通りの表し方がある。（kも整数）

• 2k
• 2k + 1

このときnの2乗は

• (2k)^2 = 4k^2
• (2k +1)^2 =4k^2 + 4k +1

と表すことができる。これはnの2乗を4で割った時に、余りが0（割り切れる）か1となることを意味する。（余りが２や３になることはない。）

いま上記の数列は、すべて（100の倍数）+ 11 になっている。※11は 100 × 0 +11 とする。

100の倍数は4で割り切れるが11は4で割ると3余る。つまり上記数列の1並びの数字は、すべて4で割ると3余る数字だ。さきほど、nの2乗は4で割った時に割り切れるか、余りが1しかないと証明した。

以上より、この数列には平方数がないことが証明される。